LC-891.子序列宽度之和

题目描述

leetcode 困难题

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 1e9 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

示例1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例2：

输入：nums = [2]
输出：0

提示1：

1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 105

考虑每个元素的贡献

考虑到数据范围，肯定是无法通过求具体的子序列来得到答案的。

我们可以考虑每个元素对答案的贡献来得到最终的答案。并且由于宽度为序列中最大元素和最小元素的差值，那么也就是说每个元素只有在作为某个序列的最小值或者最大值时，才会在该序列中对答案有贡献。容易想到先对数组进行排序，那么排序后就能可以得到以某个 $nums[i]$ 为最大值的序列一共有 $2^i$ 个，因为左边的每个元素都可以选或者不选，即一共会有 $2 \times 2 \times 2 … \times 2$ 个；同理右边就有 $2 ^{j-i-1}$ 个以 $num[i]$ 作为最小值的序列。

需要注意的是，根据题意，长度为 1 的序列是没有贡献的，所以 $nums[i]$ 的左边不能全部不选，右边也不能全部不选，也就是说，以 $nums[i]$ 作为最大值或最小值的序列数量均需要分别减一。

那么就可以得到，每个元素对答案的贡献为 $nums[i] \times (2^i - 1 - (2^{j-i-1} - 1) )$。

class Solution {
    private static final int MOD = (int)(1e9 + 7);

    public int sumSubseqWidths(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        int n = nums.length;
        long[] pow = new long[n + 1];
        pow[0] = 1;
        for(int i = 1; i < n + 1; i++){
            pow[i] = pow[i - 1] * 2 % MOD;
        }
        long ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            ans = (ans + (nums[i] * (pow[i] - 1 - pow[n - i - 1] + 1)))% MOD;
        }
        return (int)(ans % MOD);
    }
}