题目描述
leetcode 中等题
给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。
注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。
返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 $10^{-6}$ 内被视为是正确的。
示例1：
1
2
3
4
5
6
| 输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释:
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20.
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9].
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.
|
提示1：
1
2
3
| 1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 104
1 <= k <= nums.length
|
动态规划
定义 $dp[i][j]$ 表示子数组 $[0…i]$ 分成 $j$ 段的最大分数。
为了方便，令 $i$ 和 $j$ 从 $1$ 开始，简略的状态转移方程如下:
$$
\begin{align}
&dp(i, j) = \frac{sum(nums[0] … nums[i - 1])}{i} j = 1\\
&dp(i, j) = max\{dp(x, j - 1) + \frac{sum(nums[x + 1] … nums[i])}{i - x}\} 1 <j , j - 1 <= x < i \\
\end{align}
$$
$dp[n][k]$ 为答案。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
| class Solution {
public double largestSumOfAverages(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
int[] preSum = new int[n + 1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
}
double[][] dp = new double[n + 1][k + 1];
for(int j = 1; j <= k; j++){
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(j == 1){
dp[i][j] = ((double)preSum[i] - preSum[0]) / i;
continue;
}
for(int p = j - 1; p < i; p++){
double temp = dp[p][j - 1] + ((double)preSum[i] - preSum[p]) / (i - (p + 1) + 1);
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], temp);
}
}
}
return dp[n][k];
}
}
|
滚动数组
类似01背包，可以进行滚动数组优化。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
| class Solution {
public double largestSumOfAverages(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
int[] preSum = new int[n + 1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
}
double[] dp = new double[n + 1];
for(int j = 1; j <= k; j++){
for(int i = n; i >= 1; i--){
if(j == 1){
dp[i] = ((double)preSum[i] - preSum[0]) / i;
continue;
}
for(int p = j - 1; p < i; p++){
double temp = dp[p] + ((double)preSum[i] - preSum[p]) / (i - (p + 1) + 1);
dp[i] = Math.max(dp[i], temp);
}
}
}
return dp[n];
}
}
|